Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.

(b) z = x 2 - y 2

Passo 1

E aii, pessoal?

Essa questão pede pra gente transformar essa equação que está em coordenadas cartesianas x , y , z em coordenadas cilíndricas r , θ , z .

Pra isso, vamos fazer as seguintes mudanças:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Então, a equação que relacionava as coordenadas cartesianas vai virar uma equação que relaciona coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A equação que temos é:

z = x 2 - y 2

Como a coordenada z não muda, vamos substituir x e y pelos equivalentes:

z = r cos ⁡ θ 2 - r sen ⁡ θ 2

z = r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sen 2 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência:

z = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Esse termo que está entre parênteses é exatamente a expressão de cos ⁡ 2 θ :

cos ⁡ θ + θ = cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ

= cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Então:

z = r 2 cos ⁡ 2 θ

E essa é nossa equação!

Resposta

z = r 2 cos ⁡ 2 θ

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