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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 25

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A , onde R é a região trapezoidal com vértices

1 ,   0   ,     2 ,   0   ,     0 ,   2   ,     0 ,   1

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = y - x   ,     v = y + x

Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:

x = 1 2 v - u   ,     y = 1 2 u + v

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2

Passo 2

Observe que R é a imagem da região trapezoidal com vértices - 1 ,   1   ,     - 2 ,   2   ,     2 ,   2   ,     1 ,   1   . Isso nos leva a escrever a integral da seguinte maneira:

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A = ∫ 1 2 ∫ - v v cos ⁡ u v   - 1 2   d u   d v = 1 2 ∫ 1 2 v   s e n u v u = - v u = v   d v = 1 2 ∫ 1 2 2 v   s e n 1 d v = s e n 1 v 2 2 1 2 = 3 2   s e n   1

Resposta

3 2   s e n   1

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Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x y d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3 x e pelas hipérboles x y = 1 , x y = 3 ; x = u v , y = v
Determine o jacobiano da transformação.x = (u)/(u + v) , y = (v)/(u - v)
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x 2 - x y + y 2 d A , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 - x y + y 2 = 2 ; x = 2 u - 2 3 v , y = 2 u + 2 3 v
Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada. S = u , v | 0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2 ; x = 2 u + 3 v , y = u - v
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x - 3 y d A , onde R é a região triangular de vértices 0,0 , 2,1 e 1,2 ; x = 2 u + v , y = u + 2 v