Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A , onde R é a região trapezoidal com vértices

1 ,   0   ,     2 ,   0   ,     0 ,   2   ,     0 ,   1

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = y - x   ,     v = y + x

Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:

x = 1 2 v - u   ,     y = 1 2 u + v

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2

Passo 2

Observe que R é a imagem da região trapezoidal com vértices - 1 ,   1   ,     - 2 ,   2   ,     2 ,   2   ,     1 ,   1   . Isso nos leva a escrever a integral da seguinte maneira:

∫ ∫ R cos ⁡ y - x y + x   d A = ∫ 1 2 ∫ - v v cos ⁡ u v   - 1 2   d u   d v = 1 2 ∫ 1 2 v   s e n u v u = - v u = v   d v = 1 2 ∫ 1 2 2 v   s e n 1 d v = s e n 1 v 2 2 1 2 = 3 2   s e n   1

Resposta

3 2   s e n   1

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