Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R x 2 - x y + y 2 d A , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 - x y + y 2 = 2 ; x = 2 u - 2 3 v , y = 2 u + 2 3 v

∬ R x 2 - x y + y 2 d A = 4 π 3

Enunciado

E aí, gente bonita! Como tá o dia?

Olha só, precisamos fazer uma transformação jacobiana nessa integral aqui:

Onde a região está delimitada pela elipse

Para transformar, a questão nos deu:

Moleza, né?

Para calcular essa integral vamos usar:

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Temos que é a derivada de em função de :

E é a derivada de em função de :

Temos que é a derivada de em função de :

E por ultimo é a derivada de em função de :

Pronto, agora é só substituir e calcular:

Realizando o cálculo da diagonal dessa matriz, teremos:

Vamos substituir e na elipse:

Dividindo todos por , ficaremos com:

A imagem é o disco , assim temos e .

Agora vamos substituir na integral:

Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando

Assim,

Organizando:

Como , então

Colocamos para fora a fração como se fosse uma constante:

Resolvendo primeiro a integral interna:

Substituindo pelos limites de integração...

Agora em relação a , vamos integrar novamente:

Limites de Integración...

Show de bolaaa! 😊