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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 18

Utilize a transformação dada para calcular a integral.

∬ R x 2 - x y + y 2 d A , onde R é a região delimitada pela elipse x 2 - x y + y 2 = 2 ; x = 2 u - 2 3 v , y = 2 u + 2 3 v

Passo 1

E aí, gente bonita! Como tá o dia?

Olha só, precisamos fazer uma transformação jacobiana nessa integral aqui:

∬ R x 2 - x y + y 2 d A

Onde a região R está delimitada pela elipse

x 2 - x y + y 2 = 2

Para transformar, a questão nos deu:

x = 2 u - 2 3 v

y = 2 u + 2 3 v

Moleza, né?

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar:

∬ R f x , y d A

∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 u - 2 3 v = 2

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 u - 2 3 v = - 2 3

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u 2 u + 2 3 v = 2

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v 2 u + 2 3 v = 2 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

2 - 2 3 2 2 3

Realizando o cálculo da diagonal dessa matriz, teremos:

2 ⋅ 2 3 - 2 ⋅ - 2 3 = 4 3

Vamos substituir u e v na elipse:

x 2 - x y + y 2 = 2

2 u - 2 3 v 2 - 2 u - 2 3 v 2 u + 2 3 v + 2 u + 2 3 v 2 = 2

2 u 2 + 2 v 2 = 2

Dividindo todos por 2 , ficaremos com:

u 2 + v 2 = 1

A imagem é o disco u 2 + v 2 ≤ 1 , assim temos - 1 ≤ v ≤ 1 e - 1 - v 2 ≤ u ≤ 1 - v 2 .

Passo 3

Agora vamos substituir na integral:

∬ R x 2 - x y + y 2 d A

∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2 2 u 2 + 2 v 2 4 3   d v d u

Vamos fazer uma mudança para coordenadas polares, usando

u = r cos ⁡ θ

v = r sen ⁡ θ

d A = r d r d θ

Assim,

∫ - 1 1 ∫ - 1 - v 2 1 - v 2   2 u 2 + 2 v 2 4 3 d v d u

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r cos ⁡ θ 2 + 2 r sen ⁡ θ 2 4 3   r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + 2 r 2 sen 2 ⁡ θ 4 3   r d r d θ

Organizando:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ 4 3   r d r d θ

Como cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , então

∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 3 3   d r d θ

Colocamos para fora a fração como se fosse uma constante:

8 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

Resolvendo primeiro a integral interna:

8 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

8 3 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ

Substituindo pelos limites de integração...

8 3 ∫ 0 2 π 1 4 d θ

Agora em relação a θ , vamos integrar novamente:

8 3 1 4 θ 0 2 π

Limites de Integración...

8 3 1 4 ⋅ 2 π - 1 4 ⋅ 0 = 4 π 3

Show de bolaaa! 😊

Resposta

∬ R x 2 - x y + y 2 d A = 4 π 3

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