Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 19
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hipérboles , ; ,
Passo 1
E aí, terráqueos!
A questão nos deu essa integral aqui, ó:
Onde é a região do primeiro quadrante, limitada pelas retas
E pelas hipérboles:
E quer que a gente faça a transformação jacobiana para
Belezinha? 😊
Passo 2
Para calcular essa integral vamos usar:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Fazendo o cálculo da diagonal dessa matriz, chegaremos a
Agora, com a transformação de
e de
e usando as retas e as hipérboles, vamos ter:
Agora temos e no plano .
Passo 3
Agora vamos substituir na integral, que nos foi dada, tudo o que descobrimos
Organizando, teremos:
Resolvendo de dentro pra fora, primeiro em relação a
Substituindo os limites de integração, teremos
Como , então:
Cancelando os termos, ficaremos com
Vamos agora integrar em relação a , primeiro jogando o para fora da integral como constante:
Substituindo os limites de Integración...
Como propriedade do logaritmoo da potência, podemos fazer isso aqui, olha só:
Organizando, o nosso resultado final será:
Molezinhaa 😉