Utilize a transformação dada para calcular a integral.

, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hipérboles , ; ,

Para calcular essa integral vamos usar:

Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Temos que é a derivada de em função de :

E é a derivada de em função de :

Temos que é a derivada de em função de :

E por ultimo é a derivada de em função de :

Pronto, agora é só substituir e calcular:

Fazendo o cálculo da diagonal dessa matriz, chegaremos a

Agora, com a transformação de

e de

e usando as retas e as hipérboles, vamos ter:

Agora temos e no plano .

Agora vamos substituir na integral, que nos foi dada, tudo o que descobrimos

Organizando, teremos:

Resolvendo de dentro pra fora, primeiro em relação a

Substituindo os limites de integração, teremos

Como , então:

Cancelando os termos, ficaremos com

Vamos agora integrar em relação a , primeiro jogando o para fora da integral como constante:

Substituindo os limites de Integración...

Como propriedade do logaritmoo da potência, podemos fazer isso aqui, olha só:

Organizando, o nosso resultado final será:

Molezinhaa 😉