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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 21

Calcule a integral efetuando uma substituição trigonométrica apropriada.

∫ x 2 9 - x 2 d x

Passo 1

Como no denominador a gente tem algo parecido com a 2 - x 2 , com a = 3 , vamos usar a substituição:

x = a   s e n   θ = 3   s e n   θ

d x d θ = 3 cos ⁡ θ ∴ d x = 3 cos ⁡ θ   d θ

A integral fica assim:

∫ x 2 9 - x 2 d x = ∫ 9   s e n 2 θ 9 - 9   s e n 2 θ ⋅ 3 cos ⁡ θ   d θ

Sabendo que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫ 27   s e n 2 θ cos ⁡ θ 9 1 - s e n 2 θ d θ = ∫ 27   s e n 2 θ cos ⁡ θ 3 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9   s e n 2 θ d θ

Passo 2

Agora a gente calcula essa integral. Vamos lembrar que:

s e n 2 θ = 1 - c o s   2 θ 2

Substituindo isso na nossa integral:

9 ∫ 1 - c o s   2 θ 2 d θ = 9 2 θ - 9 2 ∫ c o s   2 θ d θ

Vamos resolver essa integração que apareceu com a substituição:

t = 2 θ ,     d t d θ = 2 ∴ d t 2 = d θ

∫ c o s   2 θ d θ = ∫ c o s   t 2 d t = sen ⁡ t 2 = sen ⁡ 2 θ 2

E nossas continhas ficam:

∫ 9   s e n 2 θ d θ = 9 2 θ - 9 2 ∫ c o s   2 θ d θ = 9 2 θ - 9 4 sen ⁡ 2 θ

Lembrando que sen ⁡ 2 θ = 2   s e n   θ cos ⁡ θ :

∫ 9   s e n 2 θ d θ = 9 2 θ - 9 2 s e n   θ cos ⁡ θ

Passo 3

Mas a nossa integral estava em função de x . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

x = 3   s e n θ ∴ x 3 = s e n   θ ∴ θ = a r c s e n   x 3

Desenhando o triângulo retângulo com essa característica, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

θ = a r c s e n   x 3 ,     s e n   θ = x 3 ,     cos ⁡ θ = 9 - x 2 3

Substituindo esses valores na nossa resposta:

∫ x 2 9 - x 2 d x = 9 2 θ - 9 2 s e n   θ cos ⁡ θ = 9 2 a r c s e n   x 3 - 1 2 x 9 - x 2 + C

E lembrando que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida.

Resposta

9 2 a r c s e n   x 3 - 1 2 x 9 - x 2 + C

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Calcule a integral.2 4 . int_0^1 sqrt(x - x^2) d x
Calcule a integral.25 . int x^2 sqrt(3 + 2 x - x^2)
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ arctan ⁡ x x d x
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ coth ⁡ 1 y y 2 d y