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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 46

Calcule a integral indefinida:

int (d t)/(sqrt(9 - 16 t^2))

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 4 t

d u = 4 d t

Substituindo temos:

int (d t)/(sqrt(9 - 16 t^2)) = int (1)/(4 sqrt(9 - u^2)) d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

u = 3 sen theta -> theta = arcsen ((u)/(3))

d u = 3 cos theta d theta

Substituindo temos:

int (1)/(4 sqrt(9 - u^2)) d u = int (3 cos theta)/(4 sqrt(9 - (3 sen theta)^2)) d theta = int (3 cos theta)/(4 sqrt(9 - 9 sen^2 theta)) d theta =

= int (3 cos theta)/(4 sqrt(9 (1 - sen^2 theta))) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (3 cos theta)/(4 sqrt(9 (1 - sen^2 theta))) d theta = int (3 cos theta)/(4 sqrt(9 cos^2 theta)) d theta = (3)/(4) int (cos theta)/(3 cos theta) d theta = (1)/(4) int 1 d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

(1)/(4) int 1 d theta = (1)/(4) theta + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d t)/(sqrt(9 - 16 t^2)) = (1)/(4) theta + C = (1)/(4) arcsen ((u)/(3)) + C = (1)/(4) arcsen ((4 t)/(3)) + C

Resposta

int (d t)/(sqrt(9 - 16 t^2)) = (1)/(4) arcsen ((4 t)/(3)) + C

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