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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 56

Calcule a integral indefinida:

int (e^x)/(sqrt(4 - e^(2 x))) d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer umas substituições para tirar essa exponencial, para ficar melhor de trabalhar:

u = e^x

d u = e^x d x

Substituindo temos:

int (e^x)/(sqrt(4 - e^(2 x))) d x = int (1)/(sqrt(4 - u * u)) d u = int (1)/(sqrt(4 - u^2)) d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

u = 2 sen theta -> theta = arcsen ((u)/(2))

d u = 2 cos theta d theta

Substituindo temos:

int (1)/(sqrt(4 - u^2)) d u = int (1)/(sqrt(4 - 4 sen^2 theta)) 2 cos theta d theta = int (2 cos theta)/(sqrt(4 (1 - sen^2 theta))) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (2 cos theta)/(sqrt(4 (1 - sen^2 theta))) d theta = int (2 cos theta)/(sqrt(4 cos^2 theta)) d theta = int (2 cos theta)/(2 cos theta) d theta = int 1 d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 1 d theta = theta + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (e^x)/(sqrt(4 - e^(2 x))) d x = int (1)/(sqrt(4 - u^2)) d u = int 1 d theta = theta + C = arcsen ((u)/(2)) + C = arcsen ((e^x)/(2)) + C

Resposta

int (e^x)/(sqrt(4 - e^(2 x))) d x = arcsen ((e^x)/(2)) + C

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