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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 30

Resolva a integral abaixo:

30 –

int_((pi)/(2) )^((3 pi)/(4)) sqrt(1 - s e n 2 x) d x

Passo 1

Primeiramente racionalizar:

int_((pi)/(2) )^((3 pi)/(4)) sqrt(1 - s e n 2 x) * (sqrt(1 + s e n 2 x))/(sqrt(1 + s e n 2 x)) d x = int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (sqrt(1 - s e n^2 ( 2 x )))/(sqrt(1 + s e n 2 x)) d x

Dada a identidade:

cos^2 x + s e n^2 x = 1 ; cos^2 x = 1 - s e n^2 x

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (sqrt(cos^2 2 x))/(sqrt(1 + s e n 2 x)) d x = int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (cos 2 x)/(sqrt(1 + s e n 2 x)) d x

u = 1 + s e n 2 x

d u = 2 cos 2 x d x

d x = (1)/(d u) = (1)/(2 cos 2 x)

Passo 2

Substituindo na integral:

int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (cos 2 x)/(sqrt(u)) * (1)/(2 cos 2 x) d x = int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (1)/(2 sqrt(u)) d u = (1)/(2) int_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) (1)/(sqrt(u)) d u

Dado a propriedade de integrais:

sqrt(u) = u^((1)/(2)) e (1)/(sqrt(u)) = (1)/(u^((1)/(2))) = u^(- (1)/(2))

Resolvendo a integral indefinida de:

int (1)/(sqrt(u)) d u = int u^(- ((1)/(2))) d u = (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) = (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) = 2 u^((1)/(2)) = 2 sqrt(u)

Passo 3

Assim substituindo na integral definida:

[(1)/(2) 2 sqrt(u)]_((pi)/(2))^((3 pi)/(4)) = [sqrt(u)]_((pi)/(2))^((3 pi)/(4))

Para u = 1 + s e n 2 x

[sqrt(1 + s e n 2 x)]_((pi)/(2))^((3 pi)/(4))

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

[sqrt(1 + s e n 2 x)]_((pi)/(2))^((3 pi)/(4))

(sqrt(1 + s e n (2 (3 pi)/(4)))) - (sqrt(1 + s e n (2 (pi)/(2))))

Assim:

(sqrt(1 + s e n ((3 pi)/(2)))) - (sqrt(1 + s e n (pi)))

Dado: s e n ((3 pi)/(2)) = - 1 e s e n (pi) = 0

Assim:

sqrt(1 - 1) - sqrt(1 + 0) = 0 - 1 = - 1

Resposta

- 1

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