Resolva a integral abaixo:

30 –

∫ π 2   3 π 4 1 - s e n   2 x   d x

Passo 1

Primeiramente racionalizar:

∫ π 2   3 π 4 1 - s e n   2 x ⋅ 1 + s e n   2 x 1 + s e n   2 x   d x = ∫ π 2 3 π 4 1 - s e n 2 ( 2 x ) 1 + s e n   2 x d x  

Dada a identidade:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ; cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

∫ π 2 3 π 4 cos 2 ⁡ 2 x 1 + s e n   2 x d x =   ∫ π 2 3 π 4 cos ⁡ 2 x 1 + s e n   2 x d x

u = 1 + s e n   2 x

d u = 2 cos ⁡ 2 x d x

d x = 1 d u = 1 2 cos ⁡ 2 x

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ π 2 3 π 4 cos ⁡ 2 x u ⋅ 1 2 cos ⁡ 2 x d x =   ∫ π 2 3 π 4 1 2 u d u = 1 2 ∫ π 2 3 π 4 1 u d u

Dado a propriedade de integrais:

u = u 1 2   e 1 u = 1 u 1 2 = u - 1 2

Resolvendo a integral indefinida de:

∫ 1 u d u =   ∫ u - 1 2 d u = u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = u 1 2 1 2 = 2 u 1 2 = 2 u

Passo 3

Assim substituindo na integral definida:

1 2 2 u π 2 3 π 4 = u π 2 3 π 4

Para u = 1 + s e n   2 x

1 + s e n   2 x π 2 3 π 4

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

1 + s e n   2 x π 2 3 π 4

1 + s e n   2 3 π 4 - 1 + s e n   2 π 2

Assim:

1 + s e n   3 π 2 - 1 + s e n   π

Dado: s e n 3 π 2 = - 1 e s e n π = 0

Assim:

1 - 1 - 1 + 0 = 0 - 1 =   - 1

Resposta

- 1

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