Calcule a integral indefinida.

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 5 d x

Passo 1

Fala aí, belezinha??

Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 5 d x

Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma multiplicação entre duas funções.

Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.

E é exatamente o que acontecerá aqui. Sendo assim, fazemos uma mudança de variáveis.

Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 5 d x

Então, façamos a seguinte substituição, vamos chamar

x 3 + 1 = u

Assim, podemos dizer que:

x 3 = u - 1

Além disso, também podemos encontrar a derivada de u , fazendo:

3 x 2 = d u d x

Então:

→ d u 3 = x 2 d x

Agora vejamos como fiz nossa integral ao ser substituída por sua expressão correspondente em u .

Se abrirmos esse x 5 , teremos:

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 3 ⋅ x 2 d x

1 3 ⋅ ∫ u 3 ⋅ ( u - 1 ) d u

Reescrevendo a radiciação:

1 3 ∙ ∫ u 1 3 u - 1 d u

Realizando a distributiva:

1 3 ⋅ ∫ u 4 3 - u 1 3 d u

Agora vamos nos preocupar com essa integração de potências.

Passo 3

Agora vamos achar as primitivas da função, lembrando que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então

1 3 ⋅ ∫ u 4 3 - u 1 3 d u = 1 3 ⋅ u 4 3 + 1 4 3 + 1 - u 1 3 + 1 1 3 + 1 + C

E resolvendo, teremos:

1 3 ⋅ 3 7 u 7 3 - 3 4 u 4 3

Mas calma que não acabou.

Passo 4

Precisamos lembrar que fizemos uma mudança de variável. Então, retornando, por fim, para a variável x de origem, obtemos a resposta do exercício

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 5 d x = 1 3 ⋅ 3 7 ( x 3 + 1 ) 7 3 - 3 4 ( x 3 + 1 ) 4 3 + C

Resposta

∫ x 3 + 1 3 ⋅ x 5 d x = 1 3 ⋅ 3 7 ( x 3 + 1 ) 7 3 - 3 4 ( x 3 + 1 ) 4 3 + C

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