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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 30

Calcule a integral indefinida.

∫ a x + b a x 2 + 2 b x + c d x  

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ a x + b a x 2 + 2 b x + c d x  

Tem ideia de como fazemos isso?

Perceba que na forma como está a função da integral não vamos saber calcular essa integral.

Então para facilitar nossa vida podemos usar o método de substituição.

Esse método consiste em fazer uma mudança de variáveis do tipo:

∫ f x d x → ∫ g u d u

A ideia é substituir parte de f x para chamar de u e derivar u em relação a x para obter d u e montar nossa integral.

Encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Veja só!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = a x + b a x 2 + 2 b x + c

Podemos chamar a parte de f dentro da raiz de u , assim:

u = a x 2 + 2 b x + c

Com isso, derivando em relação a x pela regra da potência, vamos obter:

d u d x = 2 a x + 2 b

d u d x = 2 a x + b

Isolando d x em um lado da igualdade...

d x = 1 2 a x + b d u

Agora precisamos substituir a x 2 + 2 b x + c e d x na nossa integral.

∫ a x + b a x 2 + 2 b x + c d x → ∫ a x + b u 1 2 a x + b d u  

Perceba que podemos simplificar a x + b .

1 2 ∫ 1 u d u

1 2 ∫ u - 1 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Viu que a gente conseguiu transformar uma integral extremamente complexa em uma integral simples? Pra resolver essa integral basta aplicarmos a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 2 u 1 2 1 2 + C

1 2 ∫ u - 1 2 d u = u + C

Não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que voltar para a x 2 + 2 b x + c .

∫ a x + b a x 2 + 2 b x + c d x = a x 2 + 2 b x + c + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ a x + b a x 2 + 2 b x + c d x = a x 2 + 2 b x + c + C

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