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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 66

Use qualquer método para calcular as integrais nos Exercícios 63-68.

66

∫ c o t g   x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral, lembrando que

cotg ⁡ x = 1 t g   x   =   cos ⁡ x s e n   x

s e n 2 a = 2 s e n a cos ⁡ a

csc ⁡ x =   1 s e n   x

∫ c o t g   x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 c o s 2 x cos ⁡ x s e n   x = ∫ 1 cos ⁡ x ⋅   s e n   x = ∫ 2 s e n ( 2 x ) = 2 ∫ csc ⁡ 2 x

Passo 3

Essa integral não é simples de se calcular, mas a estratégia é multiplicar por c o t g   2 x + csc ⁡ 2 x c o t g   2 x + csc ⁡ 2 x

E depois usar uma substituição onde

u = c o t g 2 x + csc ⁡ 2 x

Isso resulta numa integral do tipo

- ∫ d u u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ | c o t g 2 x + c s c ⁡ ( 2 x ) | + C

Resposta

- ln ⁡ c o t g 2 x + csc ⁡ 2 x + C

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