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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 13

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(x + x^(4 // 3)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Como o integrando envolve potências fracionárias de x , vamos fazer a substituição t = x^(1 // 3) . Assim,

t^3 = x => 3 t^2 d t = d x

Assim,

I = int (1)/(x + x^(4 // 3)) d x = int (1)/(t^3 + t^4) * 3 t^2 d t = 3 int (1)/(t^2 + t) d t

Para fazer essa integral precisaremos usar as frações parciais!

Passo 2

Note que

(1)/(t^2 + t) = (1)/(t (t + 1)) = (A)/(t) + (B)/(t + 1) = (A t + A + b t)/(t^2 + t)

Assim, temos que A = 1 e A + B = 0 => B = - A = - 1 . Portanto:

I = 3 int ((1)/(t) - (1)/(t + 1)) d t

Passo 3

Fazendo as integrais:

I = 3 ln |t| - 3 ln |t + 1| + C

Voltando à variável original:

I = 3 ln |x^((1)/(3))| - 3 ln |x^((1)/(3)) + 1| + C

Ou ainda, usando a propriedade dos logaritmos:

I = ln | x | - 3 ln |root(3)(x) + 1| + C

Resposta

ln | x | - 3 ln |root(3)(x) + 1| + C

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