Calcule a integral indefinida.

∫ 1 x + x 4 / 3   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Como o integrando envolve potências fracionárias de x , vamos fazer a substituição t = x 1 / 3 . Assim,

t 3 = x ⇒ 3 t 2 d t = d x

Assim,

I = ∫ 1 x + x 4 / 3   d x = ∫ 1 t 3 + t 4 ⋅ 3 t 2 d t = 3 ∫ 1 t 2 + t   d t

Para fazer essa integral precisaremos usar as frações parciais!

Passo 2

Note que

1 t 2 + t = 1 t   t + 1 = A t + B t + 1 = A t + A + b t t 2 + t

Assim, temos que A = 1 e A + B = 0 ⇒ B = - A = - 1 . Portanto:

I = 3 ∫ 1 t - 1 t + 1   d t

Passo 3

Fazendo as integrais:

I = 3 ln ⁡ t - 3 ln ⁡ t + 1 + C

Voltando à variável original:

I = 3 ln ⁡ x 1 3 - 3 ln ⁡ x 1 3 + 1 + C

Ou ainda, usando a propriedade dos logaritmos:

I = ln ⁡ | x | - 3 ln ⁡ x 3 + 1 + C

Resposta

ln ⁡ | x | - 3 ln ⁡ x 3 + 1 + C

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