Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 12

Suponha f ´ ´ contínua em [a , b] . Verifique que

f (b) = f (a) + f ´ (a) (b - a) + int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t

Passo 1

Olá, pessoal! Vamos olhar bem para segunda parte da igualdade e tentar lembrar de algo familiar,

f (a) + f ´ (a) (b - a) + int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t

Isso me lembra um pouco a solução da integração por partes. Para quem não lembra, ela tem essa cara,

int u d v = u v - int v d u

Note que temos uma parte função " u v " e uma parte integral " int v d u " , como no enunciado.

Então, primeiramente, vamos isolar a integral do enunciado:

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = f (b) - f (a) - f ´ (a) (b - a)

Vamos resolver a integral usando isso para conferir!

Passo 2

Vamos usar para a integral

u = (b - t) -> d u = - d t

v = f ´ (t) -> d v = f ´ ´ (t) d t

Jogando na solução, temos,

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) - int_a^b f ´ (t) (- 1) d t

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) + int_a^b f ´ (t) d t

Esse termo [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) vai ser resolvido assim:

[f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) = f ´ (b) (b - b) - f ´ (a) (b - a) = - f ´ (a) (b - a)

E a integral de dentro vai ficar:

int_a^b f ´ (t) d t = [f (t)] (b)/(a) = f (b) - f (a)

Substituindo:

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a)

Passo 3

Agora só precisamos de isolar o f (b) :

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a)

f (b) = f ´ (a) (b - a) + f (a) + int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x s e n5 xd x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x 5 e x 2 d x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x csc 2 ⁡ xd x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x + 3 2 e xd x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ ( x + 1 ) cos ⁡ 2 x d x