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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 46

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo um gráfico da função e de sua antiderivada (tome C = 0 ) .

∫ x x 2 + 1 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ x x 2 + 1 d x

E verificar o resultado ilustrando o gráfico de f e de sua antiderivada com C = 0 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Perceba que na forma como está a função da integral não vamos saber calcular essa integral.

Então para facilitar nossa vida podemos usar o método de substituição.

Esse método consiste em fazer uma mudança de variáveis do tipo:

∫ f x d x → ∫ g u d u

A ideia é substituir parte de f x para chamar de u e derivar u em relação a x para obter d u e montar nossa integral.

Encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Veja só!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = x x 2 + 1

Com isso podemos chamar a função dentro da raiz de u .

u = x 2 + 1

Derivando em relação a x pela regra da potência.

d u d x = 2 x

Isolando d x em um lado da igualdade:

d x = 1 2 x d u

Agora podemos fazer a substituição de fato, substituindo d x e x 2 + 1 na integral.

∫ x x 2 + 1 d x → ∫ x u 1 2 x d u

Simplificando x .

1 2 ∫ 1 u d u

1 2 ∫ u - 1 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A gente conseguiu transformar uma integral muito difícil em uma integral simples... para resolvê-la, basta aplicarmos a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja.

1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 2 u 1 2 1 2 + C

1 2 ∫ u - 1 2 d u = u 1 2 + C

Por último, temos que voltar u para x , então fazemos a substituição novamente.

∫ x x 2 + 1 d x = x 2 + 1 + C

Show?

Passo 4

Para conferir nossa resposta, vamos plotar em um mesmo gráfico a função do integrando e sua integral (com C = 0 ). Dessa forma, obteremos

Em roxo temos f x e em verde temos sua integral.

A integral de uma função pode ser interpretada como a área abaixo da curva dessa função. Perceba que f x é negativa até x = 0 e a partir desse ponto f x fica positiva. Esse comportamento reflete na curva em verde que é decrescente até x = 0 e quando f fica positiva, a curva verde passa a ser crescente.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ x x 2 + 1 d x = x 2 + 1 + C

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