Calcule a integral indefinida.

∫ cos ⁡ 1 + 5 t d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ cos ⁡ 1 + 5 t d t

Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma função dentro da outra.

Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.

E é exatamente o que acontecerá aqui. Sendo assim, fazermos uma mudança de variáveis.

Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.

Passo 2

Queremos desenvolver a integral:

∫ cos ⁡ 1 + 5 t d t

Para resolver essa integral da forma mais simples possível vamos utilizar uma substituição simples e, assim, vamos ter nossa integral simplificada e de resolução imediata. Assim, façamos a seguinte substituição

1 + 5 t = u

E derivando u , temos:

d u d t = 5

Assim, podemos dizer que

d t = d u 5

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ cos ⁡ u 5 d t

Passo 3

E podemos lembrar que essa é uma daquelas integrações tabeladas. Assim:

∫ cos ⁡ u 5 d t = s e n u 5 + C

Para finalizar o problema vamos retornar para a variável t de origem lembrando que fizemos:

u = 1 + 5 t

e vamos obter

∫ cos ⁡ 1 + 5 t d t = s e n 1 + 5 t 5 + C

Prontinho.

Resposta

∫ cos ⁡ 1 + 5 t d t = s e n 1 + 5 t 5 + C

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