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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 28

Calcule a integral indefinida.

int e^(cos t) sen t d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int e^(cos t) sen t d t

Bem... aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um cos t e um sen t , podemos então usar a mudança de variável:

u = cos t

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen t d t -> sen t d t = - d u

Vamos agora fazer a substuição:

int e^(cos t) sen t d t = int - e^u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int - e^u d u = - 1 int e^u d u = - e^u + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = cos t :

int e^(cos t) sen t d t = int - e^u d u :.

int e^(cos t) sen t d t = - e^u + C :.

int e^(cos t) sen t d t = - e^(cos t) + C

Resposta

int e^(cos t) sen t d t = - e^(cos t) + C

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