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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 15

Calcule a integral indefinida.

∫ cos 3 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ cos 3 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f θ = cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ

Podemos usar cos ⁡ θ como u .

u = cos ⁡ θ

Derivando e isolando d θ em um lado da igualdade:

d u d θ = - sin ⁡ θ → d θ = - 1 sin ⁡ θ d u

Substituindo u e d θ na integral...

∫ cos 3 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ → ∫ u 3 ⋅ sin ⁡ θ - 1 sin ⁡ θ d u

Simplificando sin ⁡ θ ...

- ∫ u 3 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Tínhamos uma integral muito complexa no enunciado do problema... agora temos uma relativamente simples.

Para resolvê-la, basta aplicarmos a regra da potência:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

- ∫ u 3 d u = - u 3 + 1 3 + 1 + C

- ∫ u 3 d u = - u 4 4 + C

Agora temos que voltar para θ , então aplicamos a substituição novamente:

∫ cos 3 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ = - cos 4 ⁡ θ 4 + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ cos 3 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ = - cos 4 ⁡ θ 4 + C

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