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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 36

Encontre a integral indefinida geral.

∫ 2 t 2 t + 3     d t

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ 2 t 2 t + 3   d t

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f t = 2 t 2 t + 3  

Podemos chamar o denominador da função de u .

u = 2 t + 3

Assim, derivando pela regra do expoente:

d a x d x = a x ln ⁡ a

Ou seja:

d u d t = 2 t ln ⁡ 2

Isolando d t em um lado da igualdade:

d t = 1 2 t ln ⁡ 2 d u

Substituindo u e d t na integral...

∫ 2 t 2 t + 3   d t → ∫ 2 t u 1 2 t ln ⁡ 2 d u

1 ln ⁡ 2 ∫ 1 u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Percebeu que transformamos aquela integral complicadíssima em um integral bem mais simples?

Temos que lembrar do Teorema Fundamental:

∫ a x d x = a ln ⁡ x + C

Ou seja: 1 ln ⁡ 2 ∫ 1 u d u = ln ⁡ u ln ⁡ 2 + C

Por fim, voltamos para t , então aplicamos a substituição de volta.

∫ 2 t 2 t + 3   d t = ln ⁡ 2 t + 3 ln ⁡ 2 + C

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 2 t 2 t + 3   d t = ln ⁡ 2 t + 3 ln ⁡ 2 + C

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