Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da fun��ão e de sua primitiva (tome C = 0 ).

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😉

Essa questão pede pra gente calcular a integral indefinida dada por:

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

Além disso temos que ilustrar e verificar se nossa resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva e tomaremos nassa constante de integração C = 0 .

Então, vamos nessa.

A ideia aqui será olhar com atenção a função que estamos integrando. Perceba que ela não é uma integral muito simples mas podemos tentar fazer uma substituição simples e verificar se isso ajuda a tornar nossa integral mais fácil de ser resolvida.

Para isso saber se é isso mesmo que devemos fazer, vamos observar se ao derivarmos uma parte da função, aparecerá algo semelhante a outra parte da função.

Vem que vou te mostrar como será isso.

Passo 2

Queremos resolver a seguinte integral:

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

No cálculo da integral, vamos precisar fazer uma substituição.

Como a derivada da tangente é secante ao quadrado, vamos fazer a substituição:

u = t g   x  

E sua derivada será:

d u = sec 2 ⁡ x   d x

Desta forma, a integral que era

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x

Se transforma em:

∫ u 2   d u

Passo 3

Agora basta resolver essa integral, que se transformou em uma integral de potência. E sua integração será na forma:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Com n ≠ - 1 .

Assim:

∫ u 2   d u = u 3 3 + C

Voltando a variável original, lembrando que fizemos

u = t g   x

Podemos dizer que:

∫ t g 2 x sec 2 ⁡ x   d x = 1 3 t g 3 x + C

Maravilha. Integral calculada.

Passo 4

Lembrando que o enunciado nos disse para tomar C = 0 .

Assim, em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:

Veja que a curva vermelha é sempre positiva e a curva azul é sempre crescente.

Sempre que a curva azul tem uma tangente horizontal, a curva vermelha se anula e, além disso, as duas são descontínuas no mesmo ponto.

Vemos então que a curva vermelha se comporta como derivada da curva azul, que é exatamente o comportamento de uma função com relação a sua primitiva.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

1 3 t g 3 x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados