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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 34

Calcule a integral indefinida.

int cosec^4 (3 - 2 x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 - 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 2 d x -> - (1)/(2) d u = d x

Agora vamos fazer a substituição:

int cosec^4 (3 - 2 x) d x = int (- cosec^4 u)/(2) d u = - (1)/(2) int cosec^4 u d u

Passo 2

Pronto, vamos fazer algumas manipulações, usando a identidade:

1 + co tg^2 x = cosec^2 x

Vamos substituir:

- (1)/(2) int cosec^4 u d u = - (1)/(2) int (1 + cotg^2 x) cosec^2 u d u =

= - (1)/(2) int cosec^2 u + cosec^2 u cotg^2 x d u = - (1)/(2) [int cosec^2 u d u + int cosec^2 u cotg^2 x d u]

Na segunda integral vamos fazer outra substituição:

v = cotg u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = - cosec^2 u d u -> - d v = cosec^2 u d u

Vamos substituir agora:

int cosec^2 u cotg^2 x d u = int - v^2 d v = - int v^2 d v

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cosec^2 x d x = - cotg x + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int sec u d u = ln |sec u + tg u| + C

Passo 4

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

int cosec^4 (3 - 2 x) d x = - (1)/(2) int cosec^4 u d u = - (1)/(2) [int cosec^2 u d u + int cosec^2 u cotg^2 x d u] =

= - (1)/(2) [- cotg u - int v^2 d v] = - (1)/(2) [- cotg u - (v^(2 + 1))/(2 + 1)] = - (1)/(2) [- cotg u - (v^3)/(3)] + C =

= (cotg u)/(2) + (v^3)/(6) + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int cosec^4 (3 - 2 x) d x = (cotg u)/(2) + (v^3)/(6) + C = (cotg u)/(2) + (cotg^3 u)/(6) + C =

= (cotg (3 - 2 x))/(2) + (cotg^3 (3 - 2 x))/(6) + C

Resposta

int cosec^4 (3 - 2 x) d x = (cotg (3 - 2 x))/(2) + (cotg^3 (3 - 2 x))/(6) + C

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