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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 13

Calcule a integral

13. int sin 2 x cos 3 x d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin A cos B = (sin (A + B) + sin ( A - B ))/(2)

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

int sin 2 x cos 3 x d x = int (sin (2 x + 3 x) + sin ( 2 x - 3 x ))/(2) d x

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

int (sin (5 x) + sin ( - x ))/(2) d x = (1)/(2) [int sin (5 x) d x + int sin ( - x ) d x]

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

:. int sin (5 x) d x = - (cos 5 x)/(5)

:. int sin ( - x ) d x = (- cos ( - x ))/(- 1) = cos ( - x )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

(1)/(2) [int sin (5 x) d x + int sin ( - x ) d x] = (1)/(2) [- (cos 5 x)/(5) + cos ( - x )] + C =

= (1)/(2) [(- cos 5 x + 5 cos ( - x ))/(5)] + C =

= (- cos 5 x + 5 cos ( - x ))/(10) + C

Resposta

int sin 2 x cos 3 x d x = (- cos 5 x + 5 cos ( - x ))/(10) + C

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