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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 50

Calcule a integral:

int c o t g^2 3 t sec 3 t d t

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Cara, normalmente a gente consegue trabalhar direto quando aparece as duplinhas secante e tangente ou cossecante e cotangente. Só que na nossa integral, isso não acontece. ☹

Mas calma, a gente pode abrir essas identidades trigonométricas e dar aquela rearrumada. Olha só como fica:

int c o t g^2 3 t sec 3 t d t = int (cos^2 3 t)/(s e n^2 3 t) ((1)/(s e n 3 t)) d t = int (cos 3 t)/(s e n^2 3 t) d t = int c o t g 3 t c o s s e c 3 t d t

Com essa duplinha a gente já consegue trabalhar. Vamos seguir!

Passo 2

Vamos deixar esses argumentos das funções com uma variável sozinha, porque facilita na hora de integrar. Vamos usar uma substituição:

u = 3 t :. (d u)/(d t) = 3 :. (d u)/(3) = d t

A integral fica assim:

int (1)/(3) c o t g u c o s s e c u d u

Agora para integrar isso, é só lembrar que:

(c o s s e c u)^' = - c o t g u c o s s e c u

Por isso:

int (1)/(3) c o t g u c o s s e c u d u = - (1)/(3) c o s s e c u

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável t :

u = 3 t

int c o t g^2 3 t sec 3 t d t = - (1)/(3) c o s s e c 3 t

Mas a não podemos esquecer a constante de integração:

int c o t g^2 3 t sec 3 t d t = - (1)/(3) c o s s e c 3 t + C

Resposta

int c o t g^2 3 t sec 3 t d t = - (1)/(3) c o s s e c 3 t + C

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