Calcule a integral.

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ

Passo 1

Sendo a nossa integral:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 :

Então se x = 5 θ :

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 . ( 5 θ ) 2 d θ

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 ∫ ( 1 - cos ⁡ 10 θ ) d θ

Podemos separar a integral em:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 ∫ d θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 10 θ d θ

Teremos:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 10 θ d θ

A integral que restou, faremos integração por substituição com u d u .

Vamos chamar :

u = 10 θ

d u = 10 d θ

d u 10 = d θ

Entãom resolvendo por meio de substituição:

∫ cos ⁡ 10 θ d θ = ∫ cos ⁡ u d u 10 = 1 10 sen ⁡ u + C  

Substituindo u = 10 θ :

∫ cos ⁡ 10 θ d θ = 1 10 sen ⁡ 10 θ + C

Retornando para a integral principal:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 θ - 1 2 1 10 sen ⁡ 10 θ + C

Reorganizando:

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 θ - 1 20 sen ⁡ 10 θ + C

Resposta

∫ sen 2 ⁡ 5 θ d θ = 1 2 θ - 1 20 sen ⁡ 10 θ + C

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