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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 3

Calcule a integral.

int sen^2 5 theta d theta

Passo 1

Sendo a nossa integral:

int sen^2 5 theta d theta

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz sen^2 x = (1 - cos 2 x)/(2) :

Então se x = 5 theta :

int sen^2 5 theta d theta = int (1 - cos 2 . ( 5 theta ))/(2) d theta

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) int ( 1 - cos 10 theta ) d theta

Podemos separar a integral em:

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) int d theta - (1)/(2) int cos 10 theta d theta

Teremos:

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) theta - (1)/(2) int cos 10 theta d theta

A integral que restou, faremos integração por substituição com u d u .

Vamos chamar :

u = 10 theta

d u = 10 d theta

(d u)/(10) = d theta

Entãom resolvendo por meio de substituição:

int cos 10 theta d theta = int (cos u d u)/(10) = (1)/(10) sen u + C

Substituindo u = 10 theta :

int cos 10 theta d theta = (1)/(10) sen 10 theta + C

Retornando para a integral principal:

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) theta - (1)/(2) [(1)/(10) sen 10 theta] + C

Reorganizando:

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) theta - (1)/(20) sen 10 theta + C

Resposta

int sen^2 5 theta d theta = (1)/(2) theta - (1)/(20) sen 10 theta + C

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