Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ ln ⁡ ( 1 - t ) t d t

Passo 1

Galerinha, bora achar uma série de potências pra essa integral? Vamos começar reescrevendo o que tá dentro de um outro jeito:

ln ⁡ 1 - t t = 1 t ln ⁡ ( 1 - t ) = 1 t ∫ ( - 1 ) 1 - t d t = 1 t ∫ ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) t n d t = 1 t ∑ n = 0 ∞ - 1 t n + 1 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 t n

Passo 2

Show! Agora podemos integrar a série de potências:

∫ ln ⁡ ( 1 - t ) t d t = ∫ ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 t n d t = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 t n + 1 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 2 t n + 1

Pra ficar mais bonito, em termos de t n , vamos trocar n + 1 por n , e aí o somatório passa a começar em n = 1 , beleza?

∫ ln ⁡ ( 1 - t ) t d t = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 t n

Passo 3

Como a gente usou a série geométrica com razão t , pra haver convergência temos que ter:

t < 1

Lembrando que as derivações ou integrações não alteram o raio de convergência, nós teremos R = 1 , beleza?

Resposta

∫ ln ⁡ ( 1 - t ) t d t = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 t n

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x 2 s e nx
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x 2 2 - 1 + cos ⁡ x
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. 2 1 - x 3
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. e x + 1 1 + x
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28. x 2 cos ⁡ ( x 2 )