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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 16

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x 2 cos ⁡ ( x 2 )

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

c o s   x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - … + - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

c o s   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 2

Vamos relacionar essa série com a pedida, justificando assim:

x 2 cos ⁡ ( x 2 ) = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 2 ) 2 n ( 2 n ) !

Simplificando matematicamente, temos a seguinte função para a série do enunciado:

x 2 cos ⁡ ( x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 ( 2 n ) !

Passo 3

E dessa forma, podemos escrever os primeiros termos da série pedida na questão:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 ( 2 n ) ! = x 2 - x 6 2 ! + x 10 4 ! - x 14 6 ! …

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 ( 2 n ) ! = x 2 - x 6 2 ! + x 10 4 ! - x 14 6 ! …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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