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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 25

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ x - t g - 1 x x 3 d t

Passo 1

Pessoal, pra achar uma série de potências pra essa integral, vamos começar trabalhando com o que tem dentro dela:

t g - 1 x = ∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 - ( - x 2 ) d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Show! Agora a gente vai conseguir chegar numa série de potências pra expressão dentro da derivada, olha só:

x - t g - 1 x x 3 = 1 x 3 x - t g - 1 x = 1 x 3 x - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 = 1 x 3 x - x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + … = 1 x 3 x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 - … = 1 3 - x 2 5 + x 4 7 - … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n + 3

Passo 3

Beleza! Agora podemos integrar a série de potências:

∫ x - t g - 1 x x 3 d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 3   x 2 n d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 3   x 2 n + 1 2 n + 1   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 3 2 n + 1   x 2 n + 1  

Outra resposta possível seria se trocássemos n por n - 1 , e o somatório passasse a começar em n = 1 :

∫ x - t g - 1 x x 3 d x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1 2 n - 1   x 2 n - 1   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 4 n 2 - 1   x 2 n - 1  

Passo 4

Galera, no começo da resolução, usamos uma série geométrica com razão - x 2 , então, pra ela ser convergente, devemos ter:

- x 2 < 1

x < 1

Lembre-se de que as integrações que fizemos em seguida não alteram o raio de convergência, então podemos tranquilamente dizer que teremos R = 1 , beleza?

Resposta

∫ x - t g - 1 x x 3 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 4 n 2 - 1   x 2 n - 1  

R = 1

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