Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 15
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
15.
Passo 1
Beleza, galera?
A questão nos deu essa função doida aqui
e quer uma representação dela como uma série de potência e o raio de convergência dela.
Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como uma integral:
Lembre-se que a série geométrica tem essa cara aqui:
E que a soma tem essa carinha aqui:
Passo 2
Se a gente quiser tirar aquele da integral descoberta, pra ficar com uma cara melhor de série geométrica, que é o foco quando falamos de série de potências:
Mas sabemos que a expressão dentro da integral corresponde à soma de uma série geométrica de primeiro termo
e razão
E já temos esses termos, logo, representando na integral como série de potências:
Organizando,
Integrando, chegaremos a
onde é uma constante de integração.
Passo 3
Agora, se usarmos a função original e fizermos , descobriremos o valor da constante :
Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, vamos substituir por , e aí o somatório passa a começar em , certo?
Passo 4
Pra série convergir devemos descobrir o raio de convergência, dado por
Como a razão para nossa série geométrica era , então
Então o raio de convergência é , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.