Seja . Mostre que a série converge para todos os valores de x, mas que a série de derivadas diverge quando , sendo um inteiro. Para quais valores de x a série converge?

Para demonstrar que a série é convergente, utilizaremos o Teste da Comparação.

A função é limitada em módulo por ,já que para qualquer . Assim, podemos comparar a série dada com a série , que é uma p-série convergente com .

A função possui valores absolutos limitados entre e . Portanto, para todo , temos

Sabemos que a série é convergente. Assim, pelo Teste da Comparação, a série é absolutamente convergente e, portanto, convergente para todos os valores de .

Agora, vamos mostrar que a série de derivadas diverge quando , sendo um inteiro. Para isso, devemos determinar a derivada e então usar um teste para mostrar o que foi pedido.

Do estudo de funções trigonométricas sabemos que

Assim, obtemos

Sabemos que é a série harmônica e diverge. Logo, pelo Teste da Comparação a série também diverge.

Por fim, determinemos pra quais valores de a série converge. Precisamos então obter a função e depois fazer uma análise da série correspondente.

Do Teorema 6 sabemos que, se uma série é convergente, seu termo geral tende a zero quando . No caso da série , seu termo geral só vai pra zero quando é um múltiplo de , ou seja, quando , sendo um inteiro. Nesse caso, todos os termos da série serão zero e, portanto, a série irá convergir:

A série converge para todos os valores de que são múltiplos inteiros de , ou seja, para onde é um inteiro.