Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como um produto:

E agora? Então vamos lá. Vamos lembrar dos teoremas envolvendo séries.

Se o Raio de convergência de uma função é R, então de sua derivada também é.

Veja só, podemos derivar a função para obter uma nova função que poderemos encontrar o raio de convergência. Então podemos encontrar uma função que a sua derivada será:

Com isso teremos:

Uma função mais fácil de encontrar a série.

Temos então essa nova função que queremos transformar em série e encontrar o raio de convergência.

Veja que as séries geométricas são do tipo:

Então precisamos fazer a seguinte manipulação na nossa função,

Utilizando a definição da série geométrica. Teremos:

Substituindo

Vamos derivar para encontrar a série da função original:

Lembrando que

Temos que:

Para voltarmos a , é só multiplicar a série por , né?

Simplificando:

Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, em termos de , vamos substituir por , e aí o somatório passa a começar em :

Temos agora que encontrar o raio de convergência da série.

Lembrando que as operações de integral e derivada não alteram o raio de convergência das séries, então podemos utilizar a série derivada pois ela tem uma aparência mais simples:

Ora, perceba que essa é uma série geométrica do tipo:

Onde o termo é o termo inicial da série e o termo é a razão. Esse tipo de série somente converge se . Ou seja, para nossa série convergir devemos ter:

Então o raio de convergência é , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.