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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 26

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ t g - 1 ( x 2 ) d x

Passo 1

Pessoal, pra achar uma série de potências pra essa integral, vamos começar trabalhando com o que tem dentro dela, usando o seguinte fato:

t g - 1 x = ∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 - ( - x 2 ) d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Show! Agora a gente vai conseguir chegar numa série de potências pra expressão dentro da derivada, é só usar a expressão do passo anterior, trocando x por x 2 , vamo lá?

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

t g - 1 x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 2 ) 2 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 4 n + 2

Passo 3

Beleza! Agora podemos integrar a série de potências:

∫ t g - 1 ( x 2 ) d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 4 n + 2 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1   x 4 n + 3 4 n + 3   = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 4 n + 3   x 4 n + 3  

Outra resposta possível seria se trocássemos n por n - 1 , e o somatório passasse a começar em n = 1 :

∫ t g - 1 ( x 2 ) d x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n - 1 4 n - 1   x 4 n - 1  

Passo 4

Galera, no começo da resolução, quando ainda estávamos procurando uma série de potências para t g - 1 x , usamos uma série geométrica com razão - x 2 , então, pra ela ser convergente, devemos ter:

- x 2 < 1

x < 1

Mas em seguida, trocamos x por x 2 , então o raio de convergência também poderia se modificar. Vamos conferir, trocando x por x 2 na inequação acima:

x 2 < 1

x < 1

Por coincidência, não houve alteração. Quanto às integrações que fizemos em seguida, sabemos que elas não alteram o raio de convergência, então podemos tranquilamente dizer que teremos R = 1 , beleza?

Resposta

∫ t g - 1 ( x 2 ) d x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n - 1 4 n - 1   x 4 n - 1  

R = 1

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