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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 13

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 x 2 + 10 x + 24   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 x 2 + 10 x + 24   d x

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Mas não podemos usar essa fórmula ainda: primeiro devemos reescrever a integral de uma forma análoga ao que está escrito na fórmula. Para isso precisamos completar quadrados no denominador:

x 2 + 10 x + 24 = x 2 + 10 x + 25 - 25 + 24 = x + 5 2 - 1

Assim,

I = ∫ 1 x + 5 2 - 1   d x = - ∫ 1 1 - x + 5 2   d x

Fazendo a substituição u = x + 5 , temos que

I = - ∫ 1 1 - u 2   d u

Passo 2

Agora sim podemos usar a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 1 :

I = - tanh - 1 ⁡ u + C ,         s e   u < 1 - c o t a n h - 1 u + C ,         s e   u > 1   = - 1 2 ln ⁡ 1 + u 1 - u + C

Por fim, voltando a variável x com u = x + 5 :

I = - tanh - 1 ⁡ x + 5 + C ,         s e   x + 5 < 1 - c o t a n h - 1 ( x + 5 ) + C ,         s e   x + 5 > 1   = - 1 2 ln ⁡ 6 + x 4 + x + C

Resposta

- tanh - 1 ⁡ x + 5 + C ,         s e   x + 5 < 1 - c o t a n h - 1 ( x + 5 ) + C ,         s e   x + 5 > 1   = - 1 2 ln ⁡ 6 + x 4 + x + C

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