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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 40

Calcule a integral interpretando-a em termo das áreas.

∫ 0 10 x - 5 d x

Passo 1

Uma integral pode ser interpretada como a área entre a curva da função e o eixo x , considerando a área abaixo do eixo como negativa. Sendo A 1 a área acima do eixo x e A 2 a área abaixo, temos que a integral é calculada por:

A = A 1 - A 2

Nesse caso, temos uma função que é sempre positiva (um módulo), então simplesmente calculamos a área acima do gráfico e obtemos o valor da integral.

Passo 2

Nossa função é f x = x - 5 . Quando temos uma função módulo, devemos analisar ela quando o que está dentro do módulo é positivo ou negativo. Para x < 5 temos x - 5 negativo e f x = - x - 5 = - x + 5 . Para x > 5 o argumento é positivo e temos f x = x + 5 . Temos então duas retas diferentes, uma decrescente antes de x = 5 e crescente depois de x = 5 . As retas se encontram em f 5 = 0 . Além disso, temos f 0 = f 10 = 5 . A área abaixo do gráfico para o intervalo [ 0 ,   10 ] é mostrado:

Passo 3

Só falta agora calcularmos a integral pela área dos triângulos. A area acima do gráfico é:

A = 2 5 ⋅ 5 2 = 25

Entao a integral fica:

∫ 0 10 x - 5 d x = A = 25

Resposta

∫ 0 10 x - 5 d x = 25

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