Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 36
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você.
Bom, essa questão pede pra gente calcular a integral abaixo, interpretando-a em termos das áreas.
Sendo assim, vamos olhar pra a função que está sendo integrada e desenhar seu gráfico. Isso vai nos ajudar a entender essa integral como sendo um cálculo de área.
Vem comigo.
Passo 2
Vamos desenhar o gráfico de usando pontos entre e :
Outra maneira de fazermos isso é usando a seguinte relação:
Podemos reescrever como:
Ou melhor:
Que é uma equação de circunferência de raio 2.
Como ela está definida apenas para valores positivos de , o gráfico se torna:
Passo 3
Essa integral pode ser interpretada como a área sob o gráfico de entre e .
Como vimos, essa integral pode ser entendida como a área sob o gráfico da função. E ela representa a metade de uma circunferência de raio 2.
Lembrando que
Assim, a área que temos é:
Isso é exatamente a área de metade de um círculo de raio , logo:
Prontinho.