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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 26

Determine o volume do sólido dado.

Limitada pelo paraboloide z = x 2 + y 2 + 1 e os planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y = 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Temos que a equação da superfície é dada por:

z = f x , y = x 2 + y 2 + 1

Uma análise rápida nos permite dizer os limites de integração. Temos que:

y = 0

Então:

x + y = 2

x = 2

Como x = 0 , então x está no intervalo:

0 ≤ x ≤ 2

E y está no intervalo:

0 ≤ y ≤ 2 - x

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2 - x

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 + y 2 + 1 d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 2 - x x 2 + y 2 + 1 d y = x 2 y + y 3 3 + y 0 2 - x

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 - x x 2 + y 2 + 1 d y = x 2 2 - x + 2 - x 3 3 + 2 - x

∫ 0 2 - x x 2 + y 2 + 1 d y = 2 x 2 - x 3 + 8 - x 3 - 12 x + 6 x 2 3 + 2 - x

∫ 0 2 - x x 2 + y 2 + 1 d y = - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 2 - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ 0 2 - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3 d x = - 4 3 x 4 4 + 4 x 3 3 - 5 x 2 2 + 14 3 x 0 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 2 - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3 d x = - 4 3 2 4 4 + 4 2 3 3 - 5 2 2 2 + 14 3 2

Resolvendo, temos:

∫ 0 2 - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3 d x = - 16 3 + 32 3 - 10 + 28 3

∫ 0 2 - 4 x 3 3 + 4 x 2 - 5 x + 14 3 d x = 14 3

Portanto, o volume será:

V = 14 3

Resposta

V = 14 3

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