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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 22

Calcule a integral dupla.

22.

∬ R 1 1 + x + y d A ,     R = 1,3 × [ 1,2 ]

Passo 1

Fala, galera. Belê?

O enunciado pede o cálculo da integral dupla, nos dando informações sobre os limites de integração. Show, né?

Temos um problema de integração em uma região retangular.

∬ R 1 1 + x + y d A ,     R = 1,3 × [ 1,2 ]

O valor de x varia no intervalo de [ 1,3 ] enquanto o valor de y varia no intervalo de [ 1,2 ] . Portanto, temos a seguinte integral:

∫ 1 3 ∫ 1 2 1 1 + x + y d y d x

Pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem da integração. Mas muito cuidado nesta hora! Não esqueçam de aplicar os limites de integração corretos, referentes as variáveis x   e y !

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . Portanto, temos:

∫ 1 2 1 1 + x + y d y

ln ⁡ 1 + x + y 1 2

Substituindo os limites de integração, teremos:

ln ⁡ 3 + x - ln ⁡ 2 + x

Agora integrando em relação a x :

∫ 1 3 ln ⁡ 3 + x - ln ⁡ 2 + x d x

Epa! Podemos dividir essa integral em duas.

Logo,

∫ 1 3 ln ⁡ 3 + x d x - ∫ 1 3 ln ⁡ 2 + x d x

Passo 3

Agora, temos um problema de Cálculo 1. Precisamos integrar esta função! Para isto, vamos lembrar que:

∫ ln ⁡ a + x d x = a + x ln ⁡ a + x - x + C

Sendo C uma constante. Portanto, vamos aplicar esta relação acima para resolver a nossa integral definida.

Pegando a primeira parte da integral d x , temos:

∫ 1 3 ln ⁡ 3 + x d x

3 + x ln ⁡ 3 + x - x 1 3

Substituindo os limites,

6 ⋅ ln ⁡ 6 - 3 - 4 ⋅ ln ⁡ 4 - 1

6 ln ⁡ 6 - 4 ln ⁡ 4 - 2

Beleza?

Passo 4

Resolvendo a segunda parte daquela integral grandona:

∫ 1 3 ln ⁡ 2 + x d x

2 + x ln ⁡ 2 + x - x 1 3

Substituindo também pelos limites de integração, vamos ter

5 ⋅ ln ⁡ 5 - 3 - 3 ⋅ ln ⁡ 3 - 1

Organizando...

5 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 3 - 2

Portanto, juntando tudo:

∫ 1 3 ln ⁡ 3 + x d x - ∫ 1 3 ln ⁡ 2 + x d x

= 6 ln ⁡ 6 - 5 ln ⁡ 5 - 4 ln ⁡ 4 + 3 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 1 3 ∫ 1 2 1 1 + x + y d y d x = 6 ln ⁡ 6 - 5 ln ⁡ 5 - 4 ln ⁡ 4 + 3 ln ⁡ 3

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