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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 51

Use um CAS para calcular as integrais iteradas:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x

e

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

As respostas contradizem o teorema de Fubini? Explique o que está acontecendo.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede para computar as integrais usando um CAS. Um CAS é um Sistema Algebrico Computacional, ou seja, um programa de computador que facilita alguns cálculos.

Um Software bastante utilizado é o MAPLE.

Ele é bem iterativo e fácil. Tem até um app pra celular que você pode escanear a função e upar no programa para resolver.

Então... Damos o input da função:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x

E obtemos como output, que é a resposta, o valor de:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x = 1 2

Passo 2

O próximo passo é computar a função:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

E recebemos como resposta:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y = - 1 2

Passo 3

Bom... nos é perguntado também, se estas respostas para as integrais contradizem o teorema de Fubini.

O Teorema de Fubini é o seguinte:

∫ a b ∫ c d f x , y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x , y d x d y

Como:

a = c = 0

E:

b = d = 1

Os limites das integrais se aplicam ao teorema, porém, temos que o Teorema não é válido, pois há uma desigualdade das integrais:

1 2 ≠ - 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x = 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y = - 1 2

O   t e o r e m a   n ã o   é   v á l i d o   p o i s   h á   u m a   d e s i g u a l d a d e   n o   v a l o r   d a s   i n t e g r a i s

1 2 ≠ - 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

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