Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 17
Calcule a integral iterada.
Passo 1
Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:
Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra.
Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”.
Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de no nosso exemplo.
Primeiro, integramos a função em relação a . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.
Vamos entender melhor esse processo!
Passo 2
Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em primeiro e depois em . Quando integramos em consideramos constante.
Resolvendo a integral:
Calculando os limites de integração:
Resolvendo a subtração de frações :
Passo 3
Agora que integramos “por dentro”, esse resultado vira o integrando da integral “de fora” que é em função de . Quando integramos em consideramos constante.
Vamos integrar em agora e pronto...
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Ficamos com:
Simplificando:
Então, chegamos no nosso resultado procurado:
Prontinho! 😊