Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 6
Calcule a integral iterada.
Passo 1
Fala, galerinha! Cês tão bem?
Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:
Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra.
Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”.
Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de no nosso exemplo.
Primeiro, integramos a função em relação a. O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.
Vamos ver como fica esse processo!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a e considerar como uma constante:
Então, todo o termo: é constante, já que está em função de . Então tiramos a constante para fora da integral:
Resolvendo a integral de :
Aplicando os limites de integração:
Logo:
Passo 3
Agora precisamos resolver a integral “de fora”:
Como temos uma multiplicação de funções com relação a , temos que aplicar algum método para resolver. Vamos tentar o método de substituição. Consideraremos
Logo:
Vamos testar se houve alteração nos limites de integração:
Quando , então .
Quando , então .
Podemos dizer então que:
Portanto:
Tirando a constante para fora e aplicando os limites de integração:
Fazendo:
Então: