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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 31

Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

∫ 0 1 / 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y

Passo 1

E ai turminha, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Precisamos calcular a integral dupla iterada abaixo em cordenadas polares. Integral iterada é uma integral que possui limites de integração para aplicar.

∫ 0 1 / 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y

E agora, como fazemos essa?

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Sabendo disso, precisamos substituir na integral dada esses valores.

∫ 0 1 / 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y

E lembre-se que sempre começamos a integrar de dentro para fora.

Logo, observe que a primeira integração é em d y , e observe que o limite de y varia entre:

3 y ≤   x ≤ 1 - y 2  

Já o limite de x, varia entre:

0 ≤ y ≤ 1 2

Vamos precisar disso, para conhecer nossa região de integração e também para converter para coordenadas polares.

Agora, é só montar a integral e começar a integrar.

Showwww!? Bora colocar mão na massa agora.

Passo 2

Observando os limites de integração sabemos que a região de integração é:

x = 3 y

x = 1 - y 2  

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Reescrevendo a expressão:

x = 1 - y 2  

x 2 = 1 - y 2

Encontramos:

x 2 + y 2 = 1

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

r 2 = 1

r = 1

Temos também que:

x = - 3 y

Ou seja:

r cos ⁡ θ = 3 r sen ⁡ θ

Sabemos que tan ⁡ θ = s e n   θ cos ⁡ θ ,   v a m o s   t e r :

tan ⁡ θ = 1 3

Portanto, temos que θ = π 6

Logo, nossa região D será delimitada por:

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ π 6

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, sabemos que:

∫ 0 1 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y

Em cordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Onde,

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ π 6

Logo, temos:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 1 r cos ⁡ θ r s e n   θ 2 r d r d θ

Reorganizando a expressão:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d r d θ

Agora devemos começar a integração. Lembre-se que sempre começamos de dentro para fora, ou seja, começamos integrando em d r .

Integrando em d r , vamos ter:

∫ 0 π / 6 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d r d θ

Integrando,

∫ 0 π / 6 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ r 5 5 0 1 d θ

Aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 π / 6 1 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora ficamos com uma integral simples em d θ .

∫ 0 π / 6 1 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Resolvendo, agora, temos que aplicar o método da substituição:

t = sen ⁡ θ

d t = cos ⁡ θ d θ

Avaliando os limites de integração:

θ = 0 → t = 0

θ = π 6 → t = 1 2

Logo, nossa integral fica:

∫ 0 1 / 2 1 5 t 2 d t

Integrando,

1 5 t 3 3 0 1 2

Aplicando os limites de integração, tem-se:

1 15 1 2 3 = 1 120

Portanto a nossa integral vale:

∫ 0 1 / 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y = 1 120

Resposta

∫ 0 1 / 2 ∫ 3 y 1 - y 2   x y 2 d x d y = 1 120

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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .
A região dentro do círculo (x - 1)^2 + y^2 = 1 e fora do círculo x^2 + y^2 = 1 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ D xd A Onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .
Descreva a região cuja área é dada pela integral int_0^((pi)/(2)) int_0^(s e n (2 theta)) r d r d theta