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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 29

29- Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos entender o que a questão está pedindo.

Ela quer que a gente calcule a integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e x 2 + y 2 d y d x

mudando x , y para coordenadas polares r ,   θ .

Que da definição de coordenadas polares, temos que

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Portanto, vamos primeiro fazer a mudança de coordenadas, depois iremos calcular os novos limites de integração e finalmente calcular a integral.

Show?

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas. Como

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E na integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e x 2 + y 2 d y d x

temos

x 2 + y 2

Precisamos calcular x 2 , y 2 e depois somar eles.

Para x 2

x = r cos ⁡ θ

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

Para y 2

y = r sen ⁡ θ

y 2 = r 2 sen 2 ⁡ θ

Somando os dois

x 2 + y 2 =   r 2 cos 2 ⁡ θ +   r 2 sen 2 ⁡ θ

Usando a propriedade trigonométrica de

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Temos que

x 2 + y 2 = r 2

Então, a integral fica

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e r 2 d y d x

Agora trocaremos aquele d y d x pelo seu equivalente em coordenadas polares, que é

d x d y = d r d θ

Temos então:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e r 2 d r d θ

Como fizemos a substituição das coordenadas, precisamos multiplicar o que está dentro da integral (integrando) pelo jacobiano, que no caso das coordenadas polares, é sempre r !

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 r e r 2 d r d θ

Passo 3

Agora, vamos trocar os limites de integração de y .

Originalmente, tínhamos que:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e x 2 + y 2 d y d x

O que nos diz que:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Transformando isso para coordenadas polares,

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Como

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Temos:

0 ≤ r sen ⁡ θ ≤ 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ

Dividindo tudo por sen ⁡ θ :

0 ≤ r ≤ 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ  

Onde o valor mínimo de r é 0 e o valor máximo de r é

1 - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ  

Queremos achar o valor de r , então nos concentramos no valor máximo que r pode chegar:

r = 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ  

Elevando ao quadrado dos dois lados,

r 2 = 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ

Multiplicando o sen 2 ⁡ θ .

r 2 sen 2 ⁡ θ =   1 - r 2 cos 2 ⁡ θ

Colocando o r em um só lado

r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ =   1

Colocando r 2 em evidência:

r 2 ( s e n 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) = 1

Usando a propriedade trigonométrica de

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Temos:

r 2 = 1 → r = 1

Pois estamos querendo somente valores positivos aqui.

Portanto,

0 ≤ r ≤ 1

Passo 4

Agora os valores mudando os limites de integração de x .

Originalmente, tínhamos que:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 e x 2 + y 2 d y d x

O que nos diz que:

0 ≤ x ≤ 1

Como

x = r cos ⁡ θ

Temos:

0 ≤ r cos ⁡ θ ≤ 1

Como r igual a 1 ,

0 ≤ cos ⁡ θ ≤ 1

Então, temos que

cos ⁡ θ = 0

θ = arccos ⁡ 0

θ = π 2

E

c o s θ = 1

θ = arccos ⁡ 1

θ = 0

Portanto:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 5

Montando nossa integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 r e r 2 d r d θ

Usando os intervalos

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Isso faz com que a integral polar fique:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r   e r 2   d r d θ

Passo 6

Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r   e r 2   d r d θ

Note que temos um termo

r 2

E parte de sua derivada:

r

Então, podemos fazer a integral em relação a r por substituição da seguinte forma:

u = r 2

d u d r = 2 r

d u = 2 r   d r

d r = d u 2 r

Isso não afeta o intervalo pois quando r = 0

u = r 2

u = 0

e quando r = 1

u = r 2

u = 1

Logo, a integral fica:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r e u d u 2 r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r e u d u 2 r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 2 e u d u d θ

Fazendo a integral de dentro temos:

1 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 e u d u d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 e u 0 1 d θ  

1 2 ∫ 0 π 2 e u 0 1 d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 e - 1 d θ

Resolvendo a integral restante:

1 2 ∫ 0 π 2 e - 1 d θ = 1 2 e - 1 θ 0 π 2

1 2 e - 1 θ 0 π 2 = 1 2 ( e - 1 ) ( π 2 - 0 )

1 2 ( e - 1 ) ( π 2 - 0 ) = π 4 ( e - 1 )

Prontinho!

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r   e r 2   d r d θ = π 4 ( e - 1 )

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