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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 32

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2 x 2 + y 2   d y   d x

Passo 1

Galera, repare que 0 ≤ y ≤ 2 x - x 2 , então vamos fazer algumas contas com isso:

y ≤ 2 x - x 2

r   s e n   θ ≤ 2 r cos ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ

r 2 s e n 2 θ ≤ 2 r cos ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ

r 2 ≤ 2 r cos ⁡ θ

r ≤ 2 cos ⁡ θ

Então devemos ter 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ . Agora, vamos fazer um esboço da região pra sabermos os limites em θ :

Veja que a região está restrita ao primeiro quadrante, então devemos ter 0 ≤ θ ≤ π 2 . Agora é só escrever a integral em coordenadas polares:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Agora lembre-se de que, pra calcular a integral dupla, sempre começamos de dentro pra fora:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2 d r d θ = ∫ 0 π / 2 r 3 3 0 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 8 3 cos 3 ⁡ θ d θ = 8 3 s e n   θ - s e n 3 θ 3 0 π / 2   = 8 3 1 - 1 3 = 16 9

Resposta

16 9

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