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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 20

Calcule a integral dupla.

∬_D x y^2 d A

D é limitada por x = 0 e x = sqrt(1 - y^2) .

Passo 1

Primeiramente vamos analisar a região D , já podemos deduzir que é uma região do tipo II, já que x está representado entre funções de y , vamos igualar as equações, se acharmos valores de y entre constantes, temos realmente uma região deste tipo.

sqrt(1 - y^2) = 0

Elevando ambos os lados ao quadrado

1 - y^2 = 0

y^2 = 1

y = +- 1

Então temos que

D = {(x , y)| - 1 <= y <= 1 , 0 <= x <= sqrt(1 - y^2) }

Passo 2

Então temos que

∬_D x y^2 d A = int_(- 1)^1 int_0^(sqrt(1 - y^2)) x y^2 d x d y

Agora é só integrar, primeiro em relação a x

= int_(- 1)^1 ((x^2 y^2)/(2))_(x = 0)^(x = sqrt(1 - y^2)) d y = int_(- 1)^1 ((1 - y^2) y^2)/(2) d y

= int_(- 1)^1 (y^2 - y^4)/(2) d y

Agora em relação a y

= ((y^3)/(6) - (y^5)/(10))_(- 1)^1 = (1)/(6) - (1)/(10) - (((- 1)^3)/(6) - ((- 1)^5)/(10))

= (1)/(6) - (1)/(10) + (1)/(6) - (1)/(10) = (2)/(6) - (2)/(10)

= (1)/(3) - (1)/(5) = (2)/(15)

Resposta

= (2)/(15)

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