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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 31

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )   d x   d y

Passo 1

Fala aí! Precisamos resolver essa integral, mas antes passar para coordenadas polares, né? Vamos nessa!!!

Bom, vamos começar dando uma olhada melhor na integral do nosso exercício:

∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )   d x   d y

Dá pra gente ver que:

y   ≤   x   ≤   2 - y 2

Então precisamos colocar mudar as coordenadas… Vamos lembrar que a relação de coordenadas polares diz o seguinte:

x = r   c o s   θ y = r   s e n   θ

Então a gente vai ter que:

r   c o s   θ   ≤   2 - r ²   s e n ²   θ

Eita! Vamos tirar aquela raiz dali? Para isso vamos elevar os dois lado ao quadrado, certo?

r ²   c o s ²   θ   ≤   2 - r ²   s e n ²   θ

Lembrando aquela relação que diz que: s e n ²   θ + c o s ²   θ = 1 , a gente pode colocar assim:

r ²   c o s ²   θ + r ²   s e n ²   θ   ≤   2

r ²   c o s ²   θ + s e n ²   θ   ≤   2

r ²   ≤   2

r   ≤   2

Show! Já sabemos que 0   ≤   r   ≤   2 . Agora vamos avaliar o outro lado , beleza?

y   ≤   x

r   s e n   θ   ≤   r   c o s   θ  

Dividindo os dois lado por r , vamos ter:

s e n   θ   ≤   c o s   θ  

Sendo assim, temos que:

- 3 π 4   ≤   θ   ≤   π 4

Mas e o y ? Ele varia assim:

0   ≤   y   ≤   1

0   ≤   r   s e n   θ   ≤   1

Então vamos restringir nossa região a:

0   ≤   θ   ≤   π 4

Outra coisa importante que muda nas coordenadas polares é o seguinte:

d x ⋅ d y   =   r ⋅ d r ⋅ d θ

Ou seja, nossa integral em coordenadas polares, será:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( r   c o s   θ   + r   s e n   θ )   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Agora partiu calcular a integral dupla! Podemos separá-la em um produto de duas integrais simples, olha só:

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( r c o s   θ   + r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( r ²   c o s   θ   + r ²   s e n   θ )     d r   d θ

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 ( c o s   θ + s e n   θ ) ⋅ r ²   d r   d θ

Aí a gente separa as integrais de θ e de r , desse jeito:

= ∫ 0 π / 4 c o s   θ   + s e n   θ d θ ∫ 0 2 r 2 d r

= s e n   θ - c o s   θ   0 π / 4 ⋅ r 3 3 0 2

= s e n π 4 - c o s   π 4 - s e n   0 - c o s   0 ⋅ 2 3 3 - 0

= 2 2 - 2 2 -   0 - 1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3

= 1 ⋅ 2 2 3

= 2 2 3

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

2 2 3

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