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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 11

Calcule a integral tripla.

11.

∭ E x y   d V

Onde E é o sólido tetraedro com vértices 0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   2 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   3 ) .

Passo 1

Fala, galera! Belê?

A questão nos deu uma integral tripla e quer o resultado dela, tendo como representação um sólido tetraedro com vértices que nos servirão como limites de integração. Show?

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção para o cálculo de integral tripla.

∫ ∫ ∫ ε f x , y , z ⋅ d V

Nossa integral é essa daqui, ó

∭ E x y   d V

E vamos analisar os vértices 0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   2 ,   0 ) e ( 0 ,   0 ,   3 ) desse sólido.

Moleza, né? Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar calculando quais são os intervalos de integração.

Considerando inicialmente z = 0 podemos encontrar a reta em x y . Temos que para os pontos (1,0,0) e (0,2,0), encontrarmos a seguinte equação:

y = 2 - 2 x

Agora temos que encontrar para o z . Sabemos que vamos integrar do plano x y com altura z = 0 até uma outra altura z , assim temos que o plano será do tipo

a z = 2 - 2 x

Onde a é uma constante que precisamos encontrar. Considerando agora o ponto 0 ,   0 ,   3 ,

encontramos que a será

a = 2 - 2 x z = - 2 3

Substituindo em z , chegamos que nosso plano será

z = 3 - 3 x - 3 2 y

Assim, nossos intervalos de integração serão

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2 - 2 x

0 ≤ z ≤ 3 - 3 x - 3 2 y

Passo 3

Agora, vamos integrar de dentro para fora.

∫ ∫ ∫ E x y   d V

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x ∫ 0 3 - 3 x - 3 2 y x y   d z   d y   d x

Primeiro em relação a z , teremos

∫ 0 3 - 3 x - 3 2 y x y   d z

x y z 0 3 - 3 x - 3 2 y

= x y 3 - 3 x - 3 2 y

Agora em relação a y , teremos

∫ 0 2 - 2 x x y 3 - 3 x - 3 2 y d y

Fazendo uma organizada no integrando, multiplicando o termo de fora pelo de dentro dos parêntesis...

∫ 0 2 - 2 ⋅ x 3 x y - 3 x 2 y - 3 2 x y 2 d y

3 2 x y 2 - 3 2 x 2 y 2 - 1 2 x y 3 0 2 - 2 x

Substituindo pelos intervalos de integração:

3 2 x 2 - 2 x 2 - 3 2 x 2 2 - 2 x 2 - 1 2 x 2 - 2 x 3

Fazendo multiplicações entre o que temos dentro e fora dos parêntesis, ficaremos com

2 x - 6 x 2 + 6 x 3 - 2 x 4

E por fim, integrando em relação a x :

∫ 0 1 2 x - 6 x 2 + 6 x 3 - 2 x 4 d x

x 2 - 2 x 3 + 3 2 x 4 - 2 5 x 5 0 1

Substituindo pelos limites de integração, teremos

= [ 1 2 - 0 - 2 1 3 - 0 + 3 2 1 4 - 0 - 2 5 1 5 - 0 ]

1 - 2 + 3 2 - 2 5 = 1 10

Resposta

∭ E x y   d V = 1 10

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Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é a região delimitada por z=4 - x 2 ,x = 0 ,y = 0 ,z = 0ey + z = 8 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x - 1 ) d V Onde T é solido delimitado pelos planos y + z = 8 ,- y + z = 8 ,x = 0 ,x = 4 ,z = 0 ,y = - 2ey = 2 .
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Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x 2 + y 2 ) d V Onde T é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 4 .
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