Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.12 - Ex. 17

Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .

Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Verifique seu resultado na parte b) plotando

Passo 1

Fala, meu povo! Tudo certo?

Temos que fazer três coisas nesta questão: determinar o polinômio de Taylor; estimar a precisão da aproximação no intervalo dado; plotar e verificar o resultado da aproximação. Tudo isso para a função:

Com os dados:

Primeiro, um polinômio de Taylor em com grau tem o seguinte formato:

Para aproximar nossa função para um polinômio basta a gente substituir nos termos acima, os valores das derivadas primeira, segunda e terceira de .

Para achar a precisão da aproximação entre o polinômio de Taylor que vamos achar e a função no intervalo de , podemos usar a desigualdade de Taylor:

Nessa equação, é o erro entre o valor da função e do polinômio de Taylor. Para encontrar , usamos a desigualdade:

Onde é o valor máximo da derivada de de ordem . Já os termos e foram dados no enunciado, lembra? Então nossa tarefa aqui é encontrar o valor de que podemos usar na inequação e assim podemos achar o valor do erro .

Para verificar o resultado da letra , podemos plotar as curvas e , já que a diferença entre as duas é a definição do resto (ou erro):

Dito tudo isso, mão na massa!

Passo 2

Sendo assim, precisamos começar escrevendo o polinômio de Taylor. Como a questão nos disse que e , o nosso polinômio será:

Portanto, temos que determinar as derivadas parciais e aplicar no ponto . Desta forma,

Portanto, o polinômio de Taylor é:

Passo 3

A desigualdade de Taylor nos diz que

Onde . Portanto, para descobrirmos quem é , precisaremos descobrir primeiro quem é , e depois aplicar , pois esse é seu ponto de máximo dentro do intervalo que o enunciado deu.

Sendo assim, a quarta derivada da função é:

Calculando: :

Portanto, podemos tomar como . Como , o erro será máximo quando . Desta forma, temos:

Calculando a expressão, temos finalmente que:

Passo 4

Para compararmos o erro, vamos utilizar softwares para plotar a curva . Portanto, temos:

Esse ponto A é onde temos . Para esse valor temos , que representa o erro, menor que . E com isto, verificamos que o erro calculado foi menor que o erro real!