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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 20

Calcule a integral de linha

int_(( 1,2 , 1 ))^(( 2,1 , 1 )) ( 2 x ln y - y z ) d x + ((x^2)/(y) - x z) d y - x y d z

Passo 1

Falaaaaaa meus abençoados, tudo blz?

Então sendo,

f (x , y , z) = (2 x ln y - y z) i + ((x^2)/(y) - x z) j - (x y) k

(del P)/(del y) = - x = (del N)/(del z)

(del M)/(del z) = - y = (del P)/(del x)

(del N)/(del x) = (2 x)/(y) - z = (del M)/(del y)

Passo 2

Assim vamos ter que,

M d x + N d y + P d z , vai ficar

f (x , y , z) = x^2 ln y - x y z + g ( y , z )

(del F)/(del y) = (x^2)/(y) - x z + (del g)/(del y) = (x^2)/(y) - x z

(del g)/(del y) = 0

Chamando g (x , y) = h ( z ) temos que ,

f (x , y , z) = x^2 ln y - x y z + h ( z )

(del F)/(del z) = - x y + h^' (z) = - x y

h^' (z) = 0 -> h (z) = 0

f (x , y , z) = x^2 ln y - x y z + c

int_(( 1,2 , 1 ))^(( 2,1 , 1 )) (2 x ln y - y z) d x + ((x^2)/(y) - x z) d y - x y d z

f (2,1 , 1) - f (1,2 , 1) = (4 ln 1 - 2 + c) - (ln 2 - 2 + c) = - ln 2

Resposta

- ln 2

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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f F x , y , z = e zi + j + x e zk