Existe um campo vetorial G → em R 3 tal que rot ⁡ G → = x sen ⁡ y , cos ⁡ y , z - x y ? Explique.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 19

Existe um campo vetorial em tal que ? Explique.

Passo 1

E aiii, tudo certo??

Essa questão deu pra gente a seguinte expressão:

E perguntou se existe algum campo que o rotacional dê isso...

Bom, pra isso, vamos usar um teorema que diz que pra qualquer campo vetorial, sempre teremos:

Onde representa o divergente de um campo, e é calculado assim:

Para

Então, se calcularmos o divergente desse campo rotacional que a questão deu, ele tem que dar zero! Se não der zero, quer dizer que esse campo não existe. Se der zero, pode existir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais.

Nosso campo é:

Então:

Derivando em função de , com e constantes:

Derivando em função de , com constantes:

Derivando em função de , mantendo e constantes:

Passo 3

Calculando o divergente:

Como , não pode existir um campo .

Resposta

Não existe.

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