Existe um campo vetorial G → em R^3 tal que rot(G) = 〈x * sen(y), cos(y), z - xy〉 ? Explique.

Passo 1

E aiii, tudo certo??

Essa questão deu pra gente a seguinte expressão:

rot ⁡ G → = x sen ⁡ y , cos ⁡ y , z - x y

E perguntou se existe algum campo que o rotacional dê isso...

Bom, pra isso, vamos usar um teorema que diz que pra qualquer campo vetorial, sempre teremos:

div ⁡ rot ⁡ G → = 0

Onde d i v representa o divergente de um campo, e é calculado assim:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Para F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^

Então, se calcularmos o divergente desse campo rotacional que a questão deu, ele tem que dar zero! Se não der zero, quer dizer que esse campo G → não existe. Se der zero, G → pode existir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais.

Nosso campo é:

F → = rot ⁡ G → = x sen ⁡ y , cos ⁡ y , z - x y

Então:

P = x sen ⁡ y

Q = cos ⁡ y

R = z - x y

Derivando P em função de x , com y e z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ x sen ⁡ y ∂ x = sen ⁡ y

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ cos ⁡ y ∂ y = - sen ⁡ y

Derivando R em função de z , mantendo y e x constantes:

∂ R ∂ z = ∂ z - x y ∂ z = 1

Passo 3

Calculando o divergente:

div ⁡ rot ⁡ G → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z =

= sen ⁡ y - sen ⁡ y + 1 = 1

Como div ⁡ rot ⁡ G → ≠ 0 , não pode existir um campo G → .

Resposta

Não existe.

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