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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.1 - Ex. 22

Determine o campo vetorial gradiente f.

f x ,   y = t g 3 ⋅ x - 4 ⋅ y  

Passo 1

Para resolver o problema vamos precisar encontrar o vetor gradiente F → , que também pode ser representado sendo ∇ f .

E como será que fazemos isso?

Bom, o primeiro passo é fazer a derivada parcial para cada direção , ou seja:

F → = ∂ f d x ,   ∂ f d y

Basicamente vamos derivar primeiro em relação x   e depois em relação a y para acharmos os componentes do vetor gradiente.

Lembrando que o gradiente é definido por:

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Vamos lá?

Passo 2

Para calcularmos as derivadas parciais de x   e de y , iremos utilizar a regra da cadeia.

Vamos começar derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x t g 3 ⋅ x - 4 ⋅ y  

Lembrando que a regra da cadeia consiste em derivar a função,nesse caso t g 3 x - 4 y e depois multiplicar pela derivada do que está dentro dos parênteses 3 x - 4 ⋅ y .

Desse jeito:

∂ f ∂ x = s e c 2 3 ⋅ x - 4 ⋅ y .   ∂ ∂ x 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

∂ f ∂ x = 3 .   s e c 2 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

Passo 3

Beleza, agora vamos derivar em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y t g 3 ⋅ x - 4 ⋅ y  

Vamos fazer da mesma forma que no passo 2, utilizando a regra da cadeia.

∂ f ∂ y = s e c 2 3 . x - 4 ⋅ y .   ∂ ∂ y 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

∂ f ∂ y =   - 4 .   s e c 2 3 . x - 4 ⋅ y

Passo 4

Agora o último passo é substituir as derivadas parciais na equação do vetor gradiente.

Então relembrando.As derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = 3 .   s e c 2 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

∂ f ∂ y =   - 4 .   s e c 2 3 . x - 4 ⋅ y

O gradiente será:

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será:

∇ ⋅ f = 3 .   s e c 2 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 .   s e c 2 3 . x - 4 ⋅ y ⋅ j →

Resposta

∇ ⋅ f = 3 .   s e c 2 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 .   s e c 2 3 . x - 4 ⋅ y ⋅ j →

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