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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 15

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

f x , y , z = x e y + y e z + z e t ;

0,0 , 0

v = 5,1 , - 2

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente precisa encontrar a derivada direcional da função:

f x , y , z = x e y + y e z + z e t ;

No ponto:

0,0 , 0

Na direção:

v = 5,1 , - 2

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u f =   ∇ f x , y , z ⋅ u

Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor   u .

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:

f x , y , z = x e y + y e z + z e t ;

Em relação a x :

f x = e y + z e x

Em relação a y :

f y = x e y + e z

E em relação a z :

f z = y e z + e x

∇ f x , y =   f x , f y , f z =   e y + z e x , x e y + e z , x e y + e z

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f x , y =   e y + z e x , x e y + e z , x e y + e z

∇ f 0,0 , 0 = 1,1 , 1

Para achar o vetor unitário u :

v = 5,1 , - 2

v = 5 2 + 1 1 + - 2 2

Temos então:

u = v v = ( 5 30 , 1 30 , - 2 30 )

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1:

D u f 0,0 , 0 = 1,1 , 1 ⋅ 5 30 , 1 30 , - 2 30

Ralizando o produto escalar:

D u f 0,0 , 0 = 4 30

Resposta

D u f 0,0 , 0 = 4 30

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