Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R_n(x) → 0 .]

20.

f(x) = x^(-2), a = 1

Passo 1

Fala, galera! Tudo show??

A questão jogou pra gente uma série e quer a série de Taylor dela centrada no ponto a   que também nos deu.

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Onde f n serão nossas derivadas e a o ponto central dessa série.

Então precisamos fazer várias derivadas dessa função, substituir a = 9 e encontrar um padrão pra gente fazer nossa representada como série de Taylor. Belê?

Passo 2

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = 1

f x = x - 2 = 1 x 2 = x - 1 2 ⇒ f 1 = 1

f ' x = - 2 x - 3 = - 2 x 3 ⇒ f ' 1 = - 2

f ' ' x = - 3 - 2 x - 4 = 3 ! x 4 ⇒ f ' ' 1 = 3 !

f ' ' ' x = - 4 ⋅ 3 ! x - 5 = - 4 ! x 5 ⇒ f ' ' ' 1 = - 4 !

Podemos achar o padrão, de forma geral

f n 1 = - 1 n n + 1 !

Passo 3

Então temos que a série de Taylor para f ( x ) é

∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 ! n ! x - 1 n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) x - 1 n

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) x - 1 n

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